domingo, 22 de junio de 2008

LAS PARADOJAS DE ZENON

Zenón fue un filosofo griego que planteo una saga de audaces y malintencionadas paradojas que han asolado la tierra en numerosas ocasiones. Veámoslas:


EL LANZAMIENTO DE LA PIEDRA

Se lanza una piedra contra un cristal. La piedra recorre la mitad del trayecto, a continuación la mitad del trayecto que le queda, a continuación la mitad del trayecto que le queda y así indefinidamente. Dado que a TODA mitad recorrida por la piedra le corresponde una mitad por recorrer, la piedra nunca llegara al cristal.

Usualmente esta paradoja se resuelve diciendo que en efecto se ve que la piedra golpea el cristal, o incluyendo el concepto de velocidad, o aludiendo a la suma de series infinitas. Todas las precedentes soluciones argumentan que la piedra romperá el cristal, pero no son capaces de invalidar el razonamiento de Zenón y es por eso que la dicotomía de la paradoja persistiría.

Solución propuesta:

En el proceso de movimiento de la piedra que describe Zenón, no se define el punto en el que la piedra se encuentra sobre el cristal, porque este punto no es la mitad de ningún recorrido. Una piedra no puede alcanzar un punto que no esta definido en su proceso de movimiento. Zenón no puede deducir si una piedra llegara a un punto que no ha incluido en el conjunto de puntos que es plausible alcanzar, la decisión de no llegar al cristal fue tomado de antemano por Zenón. La situación es similar a la siguiente: Un coche va desde Lugo a Santander, luego el coche nunca podrá ir a Vitoria.


AQUILES Y LA TORTUGA

Aquiles un formidable atleta le reta a una carrera a una perezosa tortuga dejándole una cierta ventaja. Cuando Aquiles llegue a donde a estado la tortuga, la tortuga ha avanzado un tramo. Cuando Aquiles recorre este nuevo tramo, la tortuga a avanzado otro tramo mas, cuando Aquiles recorre este nuevo otro tramo la tortuga a avanzado un tramo adicional y etc etc. Como a cada intervalo de tiempo en el que Aquiles va por detrás de la tortuga le corresponde un intervalo de tiempo en el que Aquiles sigue yendo por detrás de la tortuga, Aquiles nunca podrá alcanzar la tortuga.
Impecable

Solución propuesta:

En esta ocasión en el proceso de Zenón no se define el instante de tiempo en el que Aquiles y la Tortuga se encuentran en el mismo sitio, ese instante t de tiempo no se encuentra en el conjunto de tiempos plausibles. Únicamente se definen los tiempos en los que la tortuga se encuentra distanciada de Aquiles. Como en el caso anterior el proceso de Zenón decide de antemano que Aquiles no alcance a la tortuga al no permitir como plausibles otros instantes, este proceso no puede deducir sobre si serán posibles esos instantes.

La situación es similar a la siguiente: La tortuga duerme, de lo que se deduce que la tortuga nunca podrá estar despierta.


LA FLECHA

La más seria de todas, dice así:

Cuando se dispara una flecha en cada instante la flecha esta quieta, de modo que se deduce que la flecha no puede moverse.

Para llegar a esta conclusión Zenón admitiría tres enunciados:

1º Que el tiempo es continúo y por tanto que las cosas suceden de forma gradual y sin saltos.
2º Que el tiempo es igual a un conjunto de instantes en que las cosas esta quietas.
3º Que la suma de entidades sin extensión no tiene extensión.


Si se cumplen las tres condiciones entonces la deducción de Zenón es cierta. Aquí reside la seriedad de la paradoja puesto que es un argumento para que algunos o los tres enunciados no sean reales, es decir no se cumplan en el mundo real.

La mecánica cuántica es un escenario teórico donde el tiempo es discreto y las cosas suceden a saltos, de modo que el 1º enunciado no se cumpliría en este modelo físico tan satisfactorio.

En la Mecánica Newtoniana 1º se cumple, y según la matemática de la Teoría de Conjuntos que es aplicable al formalismo de la Mecánica Clásica se cumple 2º pero no 3º.

Discutiré a continuación si es legítimo aplicar la teoría de conjuntos a la Mecánica Newtoniana: Asumir que una recta que describe el recorrido de un cuerpo es exactamente un conjunto de puntos es legítimo tal como lo hace la Teoría de Conjuntos, pero asumir que la asunción anterior es representativo de un evento natural es algo muy discutible.

Podemos admitir que una recta con pendiente m sea un conjunto de puntos sin altura y que según la recta se mueva a la derecha ira ganando altura, porque en matemáticas se admite casi lo que plazca. Pero no es legítimo admitir que una montaña es un conjunto de puntos sin dimensión, cuando es imposible tener percepción experimental de la medida de estos puntos. Es por ello que para la comprensión de la Mecánica Clásica hay que abandonar la moderna Teoría de Conjuntos y por tanto aceptar que una recta no es igual a un conjunto de puntos para terminar asumiendo de este modo que en Mecánica Clásica se cumple 1º y 3º pero no se cumple 2º. Y por tanto tampoco se dan las condiciones por las que la argumentación de Zenón de la no existencia de movimiento tendría aplicación.


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