domingo, 24 de mayo de 2009

ORBITAS CIRCULARES SOBRE SUPERFICIES ESFERICAS

ORBITAS CIRCULARES SOBRE SUPERFICIES ESFERICAS

El problema surge de plantearme como seria digamos un sistema solar si estuviera contenido en la superficie de una esfera, realizare un análisis tomándome la libertad de realizar algunas aproximaciones que simplifiquen el trabajo. Las condiciones de estabilidad para otro tipo de orbitas, no son objeto de este articulo, pese ello el resultado es tan extenso como tedioso, de difícil seguimiento pese a las numerosas figuras e interludios (nunca suficientes) para aquellos que no estén entrenados, por ello les recomiendo que no lo lean y si eso contemplen esas entretenidas graficas que eran el medio para la comprensión que pretendía.


SE SUPONE
  • Se supone una masa inscrita m sobre la superficie de una esfera de perímetro D.
  • Se supondrá que la influencia gravitatoria esta contenida sobre la superficie de la esfera.
  • Se supondrá que la influencia gravitatoria recorre indefinidamente toda la esfera.

EL CAMPO GRAVITATORIO EN LA SUPERFICIE

Para cualquier punto de la esfera es posible trazar un circulo máximo C que pase por la masa. Si situáramos una masa hipotética en cualquier punto de la superficie la fuerza resultante se obtiene de restar las dos fuerzas de sentido contrario que aparecen par cada una de las 2 geodesias del círculo máximo. D2 es la geodesia mayor y D1 la menor. En vez de situar una masa hipotética calculare la expresión del campo gravitatorio para cualquier punto, para ello será necesario sumar las sucesivas "pasadas" del campo.



Tomando:

Planteamos el sumatorio:


Sumatorio convergente. Desconozco como obtener el valor exacto del sumatorio, por inspección los términos decrecen rápidamente para n>0, definiendo Z:
Representando z gráficamente:

De forma que sumando únicamente el 1º término del sumatorio el error es menor al 6%, por lo tanto trabajaremos con esta función por espíritu mediterráneo.

Se define:


y da una idea de la intensidad del campo gravitatorio si se considerara que la masa actúa sobre un plano y no sobre una esfera.
Representando y´/y:

Se observa naturalmente que según aumenta la distancia el campo se hace más débil con respecto a un plano. En verde el perfil de la esfera como referencia. El campo se anula como es natural en la antípoda.


EQUILIBRIO DE FUERZAS

Supongamos ahora que una pequeña masa hipotética es colocada en la superficie de la esfera y empieza a orbitar describiendo un círculo sobre la masa primera. Sobre esta masa hay que considerar 3 fuerzas:

1º Fuerza gravitatoria debida a la masa grande
2º Fuerza centrifuga con respecto al giro sobre la masa


FUERZA GRAVITATORIA

La fuerza gravitatoria se obtiene mediante la aproximación del campo gravitatorio del apartado anterior:


FUERZA CENTRIFUGA

Esta es la parte mas complicada, un masa cualquiera que se desplaza por la superficie de una esfera sin que se le aplique fuerza tiende a describir un circulo máximo (geodesia).




Fíjense en el ángulo a que utilizare más tarde. Al verse influenciado por la presencia de la otra masa el móvil se desplaza de la geodesia una distancia r en un tramo vt


Este desplazamiento r por cada vt depende de la altura a la que se encuentra la orbita como puede observase en las siguientes vistas




El radio R dado que se trabaja con una esfera unidad y con radianes:


La desviación r es máxima cuando la geodésica en azul esta perpendicular, se denomina r max en tal caso. Cuando t es suficientemente pequeño se cumple que:



Se aprecia que vt,R, y rmax forman un triangulo rectángulo, se puede plantear la siguiente ecuación.



Donde puede despreciarse para t cortos frente al resto de sumandos por tanto:

Por otra parte de los movimientos uniformemente acelerados:

Donde A es la aceleración centrípeta.


VELOCIDAD ORBITAL

Una masa en orbita resulta del equilibrio entre dos fuerzas


Donde R y D1 son equilicua:


Donde:

Por tanto:



Que representado gráficamente con Gm=1:



En verde la silueta de la esfera y en negro las velocidades orbitales para cada posición sobre la esfera. Se debe de notar que no existen orbitas circulares estables a partir de la mitad de la esfera.

El periodo será:
Que representandolo:



En verde claro el tiempo que tarda en orbitar un móvil según la distancia y en rojo el periodo de un hipotético móvil que se desplaza sobre una superficie plana a modo de comparación.


sábado, 23 de mayo de 2009

ECONOMIA X -CAPITULO V-

INTRODUCCION

Economía X a sido descrito como un universo en el que operan ciertas normas. El comportamiento, la existencia de algún patrón adicional en el comportamiento de las parcelas, se ha omitido. En este capitulo se añadirán algunos postulados con el objetivo de enriquecer el comportamiento y la idiosincrasia de dicho universo económico.


POSTULADOS PARA X1

Fijos:
  1. Se tratara de agentes económicos no de parcelas.
  2. El registro de transacciones recoge todas las transacciones que se han realizado.
  3. El registro de noticias recoge todos los hechos que han acontecido y toda la información del sistema. El registro de noticias contiene por tanto al registro de transacciones.
Variables:
  1. Existen variables que contienen información que afectan al desarrollo del sistema.
  2. Las incentivaciones de los agentes económicos dependen de un conjunto de variables.
  3. Los agentes económicos pueden tener un acceso variable al registro de noticias, que va desde el nulo al completo.
  4. Los agentes económicos elaboran estrategias de actuación en función de sus propias características.
  5. El comportamiento de los diferentes agentes económicos puede mostrar patrones comunes.
  6. Existe un conjunto de bienes que puede ser mas o menos amplio.
5 y 6 pueden considerarse postulados propios de X, alguno de ellos incluso puede resultar redundante no obstante estimo oportuno incluirlos todos en esta lista.

Los postulados variables recogen un conjunto de características del juego dentro de X1 que pueden tener valores diferentes, al fijar el valor de estas características se habrá fijado un escenario el cual seria posible analizar.

martes, 19 de mayo de 2009

ECONOMIA X -CAPITULO IV-

PRODUCCION

Como se dijo en el Capitulo I las parcelas tienen la posibilidad de producir ciertos bienes a partir otros. Los bienes para producir otros bienes, también llamados los factores productivos, puede tenerlos almacenados o pueden ser adquiridos.


INCENTIVACION EN LA PRODUCCION

Una parcela producirá otros bienes por 2 causas:
  • Incentivacion propia: Cuando el incentivo que representa para la parcela el bien producido menos el incentivo perdido en producirlo es positiva, y además mayor de la que podría obtenerse a través del intercambio del bien producido por otros bienes.
  • Incentivacion mercantil: Cuando el incentivo del bien obtenido a través del intercambio del bien producido es positiva y mayor que el incentivo que obtendría si no intercambiaría el bien producido.
Para ambos casos:

In=Ig-(Ipp+Ipa)

In es el incentivo neto
Ig es el incentivo ganado con el nuevo bien
Ipp es el incentivo perdido por bienes propios
Ipa es el incentivo perdido por bienes adquiridos.


PRODUCCION POR INCENTIVACION PROPIA

Se busca la fabricación de un bien que aporta un incentivo de Ig, con una perdida de incentivo de Ipp+Ipa originada por la desaparición de los factores productivos almacenados y por los factores que han sido necesarios adquirir.

El esfuerzo en la adquisición de cada uno de los factores productivos es igual a la rentabilidad del incentivo, y es el que hará que la parcela “puje” por la obtención de estos factores. La parcela pujara en la matriz de intercambios con todos sus bienes continuos cuando sea necesario adquirir un bien discreto y ofrecerá bienes discretos cuando pretenda conseguir un factor continuo. A partir de este punto por resumir las expresiones serán las propias la obtención de factores discretos; los tratados en el Capitulo II apartado A. Los correspondientes al apartado B se podrían obtener de forma similar.

Por tanto se tiene:



Donde y son los bienes que se han de adquirir, n lo que se ofrece por cada bien e Ip la contribución al incentivo unitario de un bien:


Sustituyendo en la expresión del esfuerzo se obtiene:


La parcela pujara por cada uno de los factores productivos, siendo:

igual para todo y en cada instante dado.

Cuando se den las condiciones para que se produzca un intercambio, la formula se deberá actualizar, eliminando el factor adquirido del sumatorio y anotando su contribución al desincentivo como una constante.

Con todo ello, en un intervalo de tiempo en el que no se producen intercambios la formula puede simplificarse:


Que da la idea de que cuanto mayor sea el número de factores productivos necesarios tanto menor será el esfuerzo para aumentar la puja en un determinado bien.


PRODUCCION POR INCENTIVACION COMERCIAL

Una parcela tiene conocimiento de todas las transacciones que se han realizado en el universo, utilizara estas transacciones como referente de los incentivos que puede ocasionarle la fabricación y posterior intercambio de un bien, la parcela dedicara un esfuerzo en base a un incentivo "virtual". Según aparezca una nueva transacción en la que este involucrada el bien objeto de la producción el incentivo virtual variara automáticamente.

Donde Ig(t) es el incentivo ganado virtual, que depende del tiempo.

Si en algún momento Ig(t) baja tanto que el esfuerzo se hace negativo, esto provoca que las pujas se paren y se reseteen. No obstante los factores que hayan sido adquiridos mientras tanto permanecerán bajo propiedad, pudiendo haber incurrido la parcela (desgraciadamente) en una disminución neta de satisfacción en el proceso.